Метадинамика
1 Коллективные переменные
Фазовое пространство молекулярно-динамической траектории сложно анализировать непосредственно, но из него можно выделить некоторое полезное подмножество координат, после чего сконструировать из них коллективные переменные \mathbf{S} = (S_1,\ldots,S_d), позволяющие формулировать состоятельные утверждения о внутренних степенях свободы системы (например, белковой молекулы).
Некоторые простые КП и их интерпретация1:
1 для удобства нотации полезно ввести следующий формализм: совокупность КП \mathbf{S} = (S_1,\ldots,S_d) будем называть пространством КП, конкретное значение S_i будем обозначать s_i, вектор в пространстве \mathbf{S} запишем как \mathbf{s} = (s_1,\ldots,s_d), выражение \mathbf{S}(\mathbf{q}) или \mathbf{S}(t) \equiv \mathbf{S}(\mathbf{q}(t)) подчёркивает, что КП зависят от координат или времени соответственно
расстояние между двумя атомами2 (или между центрами масс групп атомов) S=|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j| — собственно расстояние или длина связи;
угол между тремя атомами S=\widehat{\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j,\mathbf{r}_k} — валентный угол;
двугранный угол, образованный четырьмя атомами, S=\widehat{\mathbf{r}_{i,j},\mathbf{r}_{k,l}} — торсионный угол;
количество соседей внутри шара радиуса R, описанного вокруг атома, S=\mathrm{card} \left\{ \mathbf{r}_i : |\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j| \leq R \right\} - 1 — координационное число, оператор \mathrm{card} обозначает размер множества (англ. cardinality).
2 здесь и далее — не между произвольными атомами, а между наперёд заданными; \mathbf{r}_i — радиус-вектор iго атома, \mathbf{r}_{i,j} — вектор c началом в iм и конце в jм атомах
2 Метадинамика
Численный эксперимент МД ограничен доступным машинным временем, в нормальном случае его не хватит для исследования всего ФП, а если энергические барьеры между состояниями достаточно высоки, за время моделирования система может даже не покинуть начальную область ФП, пример системы, в которой может наблюдаться такая картина, приведён на ⬟ 1; подобный маловероятный «прыжок» молекулы из одного минимума в другой называют редким событием [1].
Метадинамика — неравновесный метод молекулярного моделирования. Для эффективного получения выборки из ФП к потенциалам взаимодействия, описанным в [Описание метода], добавляют зависящий от КП3 \mathbf{S(q)} и времени t смещающий потенциал V(\mathbf{S(q)},t), который будет способствовать выходу системы из её энергетического минимума, что, в свою очередь, позволит исследовать новые области ФП.
3 обозначения коллективных переменных были введены в Коллективные переменные
Для пространства \mathbf{S(q)} изменение потенциала V(\mathbf{S(q)},t) во времени происходит не непрерывно; в начале симуляции V(\mathbf{S(q)},t=0)=0, однако через равные промежутки времени \tau к нему добавляются гауссовы функции так, чтобы положение их максимумов совпало с текущем значением коллективных переменных \mathbf{s}(t):
V(t) = V(t-\tau) + h(t)\exp\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{d}\left(\frac{s_i(t) - s_i(\lfloor t/\tau\rfloor\cdot\tau)}{\sigma_i}\right)^2\right\}
или, если исключить предыдущее значение V(t-\tau) и суммировать по шагам k явно,
V(\mathbf{s},t) = \sum_{k=1}^{\lfloor t/\tau\rfloor}h(t)\exp\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^d \left(\frac{s_i - s_i(k\tau)}{\sigma_i}\right)^2\right\} \tag{1}
Накачку системы энергией называют нагреванием, поскольку в процессе температура неизбежно возрастёт на фиктивную величину \Delta T; если в начальный момент система условно находилась в нуле энергии, то в ходе нагрева ей становятся доступны состояния со свободной энергией [0\,..\,k\Delta T] за вполне обозримое время.
Высоту экспоненты в 1 задаёт h(t), в классической метадинамике её принимают постоянной и равной h_{0}. В большом временном пределе F(\mathbf{s})+V(\mathbf{s},t) обращается в константу, поэтому оценка свободной энергии
F(\mathbf{s}) = \mathrm{const} - \lim_{t\to\infty} V(\mathbf{s}, t), \tag{2}
т.е. зная, как смещающий потенциал V(\mathbf{S},t) меняется во времени, можно реконструировать вид поверхности потенциальной энергии [3,4].
3 Well-tempered метадинамика
Для лучшей сходимости метадинамики, высота h(t) на больших временных масштабах должна уменьшаться, например, по закону:
h(t) = h_{0}\exp\left\{ -\dfrac{V(\mathbf{s}(t),t)}{k\Delta T}\right\} ,
эту модификацию называют well-tempered метадинамикой, высота гауссианы определяется привнесённым смещением V(\mathbf{s}(t),t) и фиктивной температурой \Delta T. Если система перешла в новую область ФП, где ещё не был наложен смещающий потенциал, высота добавляемых гауссиан вновь вырастет до значения h_{0} и будет уменьшаться с ростом V(\mathbf{s}(t),t) в этой области. Аналогично 2 можно записать оценку
F(\mathbf{s})=\mathrm{const}-\left(1+\dfrac{T}{\Delta T}\right)\lim_{t\to\infty}V(\mathbf{s},t).
На практике далеко не всегда удаётся достичь выхода V(\mathbf{s},t) на постоянное значение — глубина исследования ФП определяется доступным машинным временем, однако, стоит упомянуть, что в момент перехода системы в свободное плавание (⬟ 2 в) она начнёт быстро дрейфовать по поверхности свободной энергии и может даже совершить прыжок в область ФП вне интересующих нас пределов, об этом важно помнить, чтобы остановить моделирование в подходящий момент.
Резюмируем. Протокол метадинамики включает несколько шагов: 1. конструируются коллективные переменные \mathbf{S}(\mathbf{q}) — функции координат атомов, цель которых — ёмкое и исчерпывающее описание эволюции системы в процессе моделирования с позиции наблюдения интересующих исследователя событий, иными словами, изменение \mathbf{S}(\mathbf{q}) должно отражать протекание конкретного процесса, поскольку сэмплирование ФП происходит согласованно с пространством КП; 2. выбираются период наложения \tau, начальная высота h_{0} и ширины \sigma_{i} гауссиан; 3. проводится компьютерное моделирование со смещающим потенциалом V(\mathbf{s},t); 4. восстанавливается вид поверхности свободной энергии по изменению V(\mathbf{S},t) во времени.