1 General idea

Caddy can route traffic to different handlers based on URL path, e.g. service.example.com/path1 and service.example.com/path2 can be handled by different services.

This allows serving your main website while directing specific paths to the Xray server. For example, you can run a website at service.example.com while the 3X-UI interface is accessible at service.example.com/secret/3x/. You can host multiple services on the same domain and port, differentiating them by path.

When you communicate with any service via HTTPS encrypted connection, intermediaries³ (like your ISP) can see only the domain⁴ (service.example.com) and the port (443), but all paths (e.g. in service.example.com/secret/3x) are encrypted.

However, paths are encrypted, VPN servers use lots of traffic, so it’s not hard to suspect that traffic for a specific domain service.example.com is VPN traffic. To remove suspicion, you should host a real website on the same domain. This website should not be a hello world page, but a real web service with potentially high traffic, e.g. a file sharing or video streaming service which you may actually want to use.

The following diagram shows⁵ key components of this setup.

flowchart TD

    subgraph Users
        user1([User 1])
        user2([User 2])
        user3([User 3])
    end

    subgraph Intermediates
        ISP([ISP])
        CDN(["CDN (optional)"])
        Hoster([hoster])
    end

    subgraph VPS
        
        caddy443([Caddy <br> host's 0.0.0.0:443])

        subgraph Web service
            dockerweb([Docker <br> localhost:8081])
            service([web service <br> container's 0.0.0.0:80])
        end

        subgraph 3X-UI service
          dockervpn([Docker <br> localhost:8443 ])
          xxxvpn([Xray VPN <br> container's 0.0.0.0:443])
          
          dockerui([Docker <br> localhost:8080])
          xxxui([3X-UI web console <br> container's 0.0.0.0:80])
          
          dockersub([Docker <br> localhost:8180])
          xxxsub([3X-UI subscriptions <br> container's 0.0.0.0:81])
        end

    end

    user1 -->|HTTP/1.1 :443| ISP
    user2 -->|HTTP/2 :443| ISP
    user3 -->|HTTP/3 :443| ISP
    ISP --> CDN --> Hoster

    Hoster -->|HTTP/1.1 :443| caddy443
    Hoster -->|HTTP/2 :443| caddy443
    Hoster -->|HTTP/3 :443| caddy443

    caddy443 -->|/secret/websocket| dockervpn -->|NAT| xxxvpn
    caddy443 -->|/secret/3x*| dockerui -->|NAT| xxxui
    caddy443 -->|"/secret/sub* (optional)"| dockersub -->|NAT| xxxsub 
    
    caddy443 -->|other| dockerweb -->|NAT| service

5 Configure 3X-UI

Configure ordinary 3X-UI without reverse proxy. Assuming that similar to the previous example, you have a directory for 3X-UI, e.g. ~/3x-ui/ and a compose.yaml file in it:

~/3x-ui/compose.yaml

services:
  3x-ui:
    image: ghcr.io/mhsanaei/3x-ui
1    hostname: service.example.com
    volumes:
      - ./db/:/etc/x-ui/
      - ./cert/:/root/cert/
    restart: unless-stopped
    ports:
2        - 127.0.0.1:8443:443 # VPN
3        - 127.0.0.1:8080:80 # web UI
4        - 127.0.0.1:8180:81 # subscription service

1

Same domain as for the web service, we use it to hide VPN traffic.

2

You must configure the VPN port in the 3X-UI, here we bind it to the VPS’s 8443 port.

3

Again, configure the 3X-UI web interface port, here we bind it to the VPS’s 8080 port.

4

Subscription service is optional, ignore it if you don’t use it.

Note that Xray is bound to localhost (127.0.0.1), meaning it won’t be directly accessible from outside the host machine. Again, we will use Caddy to forward requests to Xray based on the URL path.

I briefly describe how to configure Xray, but you should understand what you are doing and how to apply it to your specific case:

• In 3X-UI set listen IPs to 0.0.0.0 (for both web 80 and VPN 443 ports), binding to 0.0.0.0 inside the container makes it accessible from outside, where outside means the host machine (VPS) with Caddy.
• Select and configure transport WebSocket protocol⁶.
• Configure inbound paths (e.g. /secret/3x for UI and /secret/websocket for transport⁷) in 3X-UI settings. Paths are arbitrary but they must match in both 3X-UI and Caddy configs.
• Configure listen IPs, ports and paths for subscription service if you use it; it can be proxied through Caddy too.

6 Configure Caddy to proxy specific paths to Xray

After all basic components are here, you can add Xray-specific routing based on your chosen transport method.

/etc/caddy/Caddyfile

https://service.example.com {
1  reverse_proxy /secret/3x* http://localhost:8080
2  reverse_proxy /secret/websocket* http://localhost:8443
3  reverse_proxy http://localhost:8081
}

/etc/caddy/Caddyfile

https://service.example.com {
  reverse_proxy /secret/3x* http://localhost:8080
1  reverse_proxy /secret/grpc* h2c://localhost:8443
}

~/3x-ui/compose.yaml

services:
  3x-ui:
    # ...
    ports:
        - 127.0.0.1:8443:443 # websocket VPN
1        - 127.0.0.1:8444:444 # gRPC VPN
2        - 127.0.0.1:8445:445 # XHTTP VPN
        - 127.0.0.1:8080:80 # web UI
    # ...

/etc/caddy/Caddyfile

https://service.example.com {
  reverse_proxy /secret/3x* http://localhost:8080
  reverse_proxy /secret/websocket* http://localhost:8443
  reverse_proxy /secret/grpc* h2c://localhost:8444
  reverse_proxy /secret/xhttp* http://localhost:8445
}

7 Subscription service (optional)

Xray can advertise client configurations via a subscription service. It can be proxied through Caddy too. 3X-UI generate two types of subscription links: ‘ordinary’ and JSON.

/etc/caddy/Caddyfile

https://service.example.com {    
  reverse_proxy /secret/3x* http://localhost:8080
  reverse_proxy /secret/websocket* http://localhost:8443
  # ...
  
1  reverse_proxy /secret/sub* http://localhost:8180
2  reverse_proxy /secret/json* http://localhost:8180
}

1

Handles all requests to the ‘ordinary’ subscription service.

2

Handles all requests to the JSON subscription service.

You need to enable subscription service in 3X-UI panel settings, configure its listen IP (0.0.0.0 in this set up), port (8180 on host and 81 inside the container⁹), and two paths¹⁰ in order to generate correct subscription links automatically.

This completes the setup.

8 Post scriptum

• Caddy distinguishes /secret/3x/, /secret/3x, /secret/3x*, and /secret/3x/* paths. If 3X-UI is not accessible via https://service.example.com/secret/3x, try adding a trailing slash and recheck paths in both Caddy and 3X-UI configurations (and in the browser!).

• Caddy tries to use HTTP/3, but it may be blocked, e.g. in Russia HTTP/3 is allowed only for specific domains, international HTTP/3 traffic may not work. You can disable HTTP/3 in Caddy by adding the following to the Caddyfile:

  /etc/caddy/Caddyfile

  {
    servers {
      protocols h1 h2
    }
  }

  This disables HTTP/3 globally for all Caddy domains and services. If you want to disable HTTP/3 only for a specific service, explicitly advertise HTTP v1 & v2 protocols during connection:

  /etc/caddy/Caddyfile

  https://service.example.com {
    tls {
      alpn h2 http/1.1
    }
    # ...
  }

• Caddy’s reverse proxy aggregates chunks into larger ones before sending to optimize network efficiency. While good for throughput, buffering can increase latency. To disable it, use flush_interval -1:

  /etc/caddy/Caddyfile

  https://service.example.com {
    # ...
    reverse_proxy /secret/websocket* http://localhost:8443 {
      flush_interval -1
    }
    # ...
  }

• If you have problems setting up Xray, you can bind it to localhost explicitly by adding network_mode: host in the compose.yaml to 3X-UI service. This disables container’s network isolation and binds the container to the host’s ports. After that you can inspect ports on the host machine and check if Xray is working. Note that if you configured listen IPs to 0.0.0.0 in 3X-UI, your container will be accessible from outside the VPS without encryption, so use this only for testing¹¹.

• I had an issue where Xray ignored listen IPs configured via web console, so I patched its database directly. The fix was simple: I connected to my VPS via VS Code SSH extension with installed SQLite3 Editor, opened ~/3x-ui/db/x-ui.db, edited webListen and subListen fields in the settings table, then recreated the container¹² with docker-compose up -d --force-recreate

• 3X-UI is in active development. Sometimes updating fixes problems - run docker-compose pull and then docker-compose up -d. However, don’t update if everything works fine since new versions may introduce bugs. Also, the new XHTTP transport protocol may be updated in the near future, so you may want to revisit this setup later.

• Caddy can modify paths. You may want to set up simple paths in 3X-UI and then manage all paths in Caddy. E.g. Xray can operate at /* paths inside the container, Caddy can handle connections to service.example.com/secret/* on the host and strip prefix /secret before forwarding to Xray. See handle_path directive in Caddy documentation.

• When Caddy routes e.g. /secret/sub* paths to Xray and an error occurs on Xray side, Caddy returns the respond from Xray and it will differ from the standard response of the real web service. This potentially exposes that you have something interesting behind the /secret/sub* paths. To mitigate this, you can set up Caddy to manage errors too. See error handling in Caddy documentation.

• Network performance can be improved with BBR¹³ congestion control. BBR helps achieve better throughput on connections with packet loss. Configure in /etc/sysctl.conf:

  /etc/sysctl.conf

  net.core.default_qdisc=fq
  net.ipv4.tcp_congestion_control=bbr

  Then apply changes with:

  sudo sysctl -p

2 Молекулярные отпечатки

Для поиска похожих структур необязательно производить исчерпывающий поиск попарных подграфов, вместо этого достаточно сконструировать функцию, отображающую молекулярный граф в более простую для работы структуру — вектор. Потребовав от такого отображения свойство непрерывности (химически близкие молекулы отображаются в близкие векторы), автоматически будет выполнено и свойство компактности (некоторая область векторного пространства будет соответствовать химически отнотипным структурам), полученные векторы называют молекулярными отпечатками¹.

Одному молекулярному графу строго соответствует один отпечаток, однако, не требуется выполнение взаимно-однозначного соответствия, т.е. одному отпечатку потенциально могут соответствовать много структур, что роднит молекулярные отпечатки с хешем². На практике, однако, встретить две молекулы с одним молекулярным отпечатком удаётся нечасто. Важными преимуществами молекулярных отпечатков является а) высокая скорость их вычисления по сравнению с операциями над графами и б) простота поиска похожих химических структур.

Многие часто используемые алгоритмы вычисления молекулярных отпечатков были разработаны в составе прикладного ПО. Конкретная реализация алгоритма может охраняться коммерческой тайной или патентами, поэтому существует большое число их реализаций. Приведём лишь некоторые из них.

3 Структурная схожесть

Для численной характеристики схожести молекулярных структур⁶ используются их векторное представление. Между векторами-отпечатками можно определить метрику расстояния. Чаще всего структурное подобие двух молекул оценивается по индексу Танимото:

где и — векторы-отпечатки, и — число в отпечатках соответственно, — число общих для обоих отпечатков. Например, для индекс Танимото Также используется коэффициент Дайса; для примера выше:

1 Алхимический формализм одинарной и двойной топологии

От примера с оценкой энергии связывания фермента и субстрата мы перешли к интегрированию по пути между двумя произвольными состояниями в фазовому пространству (ФП). По определению: точки ФП — это -мерные векторы, состоящие из компонент импульсов и координат всех частиц в системе, ФП описывает состояние физичной системы в смысле классической механики, однако мы можем обогатить ФП новыми степенями свободы, включив в него массу, заряд и другие свойства частиц. В расширенном ФП можно построить путь , соединяющий состояния и , отвечающие разным химическим молекулам [1, с. 50].

На практике расчёт энергии перехода из одного состояния в другое проводится по формуле термодинамического интегрирования:

однако этот расчёт можно реализовать по-разному. В дальнейших рассуждениях без ограничения общности будем считать, что алхимической трансформации подвергается молекула лиганда.

В молекулярной динамике (МД) потенциальная энергия вычисляется как сумма всех взаимодействий в системе:

Путь алхимической трансформации , параметризующий превращение лиганда, может быть включён в выражение силового поля (СП), и тогда топология (числовые параметры атомов СП и порядок их связей) трансформируемой молекулы плавно изменяется при движении в ФП, т.е. свойства атомов (масса , заряд и др.) находятся в функциональной зависимости от пути :

В другой реализации, расчёт проводится непосредственно по 1, тогда в процессе трансформации молекула лиганда будет представлять собой суперпозицию начального и конечного состояний, каждая из которых будет описываться своей топологией. В этой постановке всё ФП или его область являются функцией от .

В обоих подходах в начале () и в конце () пути существую физичные молекулы, однако в формализме одинарной топологии в процессе трансформации параметры атомов, будь то заряд, масса или др., будут принимать промежуточные значения, т.е. не будут соответствовать ни одному настоящему атому. В формализме двойной топологии очевидно возникает проблема: потенциальная энергия молекулы в процессе трансформации согласно 1 описывается в виде взвешенной суммы. При попытке поместить две молекулы в одну область пространства неизбежно произойдёт расталкивание электронных облаков¹, поэтому также необходимо указывать список атомов, общих для обеих структур, чтобы «исключить» их из взаимодействий между собой (и позволить занять одну область пространства), но оставить взаимодействие с окружением, масштабируя его согласно пути .

2 Интегрирование по пути

Для проведения алхимической трансформации необходимо просемплировать ФП в разных точках алхимического пути и затем оценить значение интеграла по формуле:

Поскольку интегрирование проводится численно, узлы интегрирования (значения ) могут выбираться из разных предпосылок. При интегрировании методом параллелограммов значения могут браться с определённым шагом или вовсе произвольно. Более продвинутые методы интегрирования могут накладывать ограничения на выбор ; часто используемый метод Гаусса² уже предоставляет набор значений , который необходимо использовать в расчётах, итоговое значение интеграла вычисляется по простой формуле где — известные из метода Гаусса значения весов. Например, для числа узлов , значения и приведены в ⊞ 1. Значения лежат симметрично относительно середины пути ; веса крайних точек в итоговом интеграле минимальны.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0.0159	0.082	0.1933	0.3379	0.5	0.6621	0.8067	0.918	0.9841
	0.0406	0.0903	0.1303	0.1562	0.1651	0.1562	0.1303	0.0903	0.0406

3 Расчёт энергии связывания

Метод алхимической трансформации позволяет оценивать энергию превращения одной молекулы в другую путём изменения параметров атомов или преобразованиями функции внутринней энергии . Получаемые в результате алхимии значения энергии не могут быть проверены в эксперименте непосредственно, но могут использоваться для получения ТД параметров связывания.

Опишем ТД цикл (⬟ 1) для определения разности энергий связывания пары лигандов и , в активном центре фермента . Для трансформаций лигандов и комплексов соответствующие значения алхимических энергий и могут быть рассчитаны, а значения энергий связывания и определены в эксперименте. Исходя из ТД цикла и с учётом знаков

откуда т.е. разница энергий связывания может быть определена экспериментально или рассчитана.

Моделирование белка (в данном случае в комплексе с лигандом) (⬟ 1 б) требует соответствующего размера ячейки, заполненной водой. Для корректного сопоставления энергии, размер систем (количество частиц³) при превращении лигандов должен соответствовать системе белка (комплексов), однако, при превращении свободных лигандов фермент должен быть удалён на бесконечное расстояние (⬟ 1 а), а поскольку нас интересует только разность энергий (энергия алхимического превращения), из системы можно исключить фермент и всю необходимую его воду, имеющие одинаковый энергетический вклад до и после превращения; проще говоря, моделирование лигандов можно проводить в ячейке малого размера, что значительно экономит время расчёта.

Рассчитанные значения могут быть использованы как поправки: энергия связывания с лигандом может быть рассчитана через экспериментальное значение энергии связывания и вычисленную поправку — энергию алхимической трансформации :

последнее верно в силу того, что и , и являются функциями состояния, более того, в конденсированных фазах .

1 Возмущение свободной энергии

Пусть имеем термодинамическую систему, состоящую из молекулы лиганда и белка : в состоянии лиганд и белок и не связаны, в состоянии — имеет место комплекс , соответственно введём потенциальные энергии и для несвязанного и связанного состояний. Свободная энергия Гельмгольца перехода в связанное состояние [1, с. 138]

может быть выражена через суммы по состояниям:

где, например,

где — гамильтониан системы , — число частиц в ней, , — точка ФП; интегрирование ведётся по всему ФП, что эквивалентно интегрированию по области, соответствующей состоянию , т.е. там, где вероятность пронаблюдать микросостояние состояния не нулевая.

Сократив в 2 числитель и знаменатель на импульсозависимую часть , перейдём к конфигурационным интегралам:

где

Оценить непосредственно по уравнениям 2 и 4 сложно, поскольку методы МД и Монте-Карло не позволяют непосредственно рассчитывать статистические суммы и интегралы, однако позволяют получить хорошие средние оценки ТД функций.

Уравнение 4 можно переформулировать через средние ТД величины. Конфигурационный интеграл представим в виде интеграла от двух множителей-экспонент: где — функция распределения, соответствующая состоянию Среднее значение произвольной функции по ансамблю можно вычислить через функцию распределения :

учитывая 6 и 7, дробь в уравнении 4 примет вид:

т.е. среднее берётся из распределения, соответствующего состоянию .

Наконец,

Уравнение 8 известно как возмущение свободной энергии. Опишем, как следует использовать это уравнение. Состоянию отвечает функция распределения и потенциал , в ходе численного эксперимента мы получаем точки ФП, соответствующие этому распределению, и затем используем их для моделирования состояния заменив потенциал на . Однако, распределению соответствует другая функция распределения , поэтому точки ФП следует перевзвесить¹, поделив на исходное и умножив на .

Таким образом, при расчёте по 8 мы собираем статистику по ФП, соответствующую начальному состоянию, и затем используем эти наблюдения для оценки , как если бы они были взяты из распределения состояния . Ограничением этого подхода является то, что микросостояния из распределения могут не быть микросостояниями с высокой вероятностью в распределении , в этом случае разность будет большой и экспоненциальный фактор , соответствующие состояния будут иметь малый вес в среднем по ансамблю и, как следствие, сходимость будет медленной. Другими словами, требуется, чтобы состояние было небольшим возмущением состояния и их области в ФП существенно перекрывались.

2 Термодинамическое интегрирование

Выбор начального и конечного состояний не ограничивается связыванием в комплекс, состояния могут соответствовать любым областям в ФП. В случае, когда и достаточно далеки, вводят промежуточные состояния, переходы между которыми можно считаться малым возмущением. Уравнение 8 в этом обобщении имеет вид: где — номер промежуточного состояния, — соответствующий ему потенциал, усреднение ведётся по функции распределения этого состояния.

Однако, можно пойти дальше и от суммирования дискретных состояний перейти к непрерывному интегрированию. Введём путь трансформации — величину по сути аналогичную координате реакции между двумя состояниями ТД системы. Пользуясь мы можем определить потенциальную энергию промежуточных состояний:

Из выражения свободной энергии, соответствующей состоянию : можно получить соотношение для производной свободной энергии по параметру пути :

т.е. может быть рассчитана через среднее по ансамблю с распределением при .

Изменения свободной энергии при переходе из в затем может быть рассчитано через интеграл по пути :

Уравнение 10 называется формулой термодинамического интегрирования [2], этот интеграл не зависит от выбора и , однако, при выборе удачного вида (т.н. выпуклая линейная комбинация) уравнение 10 упростится до

На практике, однако, от интегрирования по вновь переходят к суммированию по некоторым промежуточным состояниям : точки ФП для вычисления средних берутся из распределения .

1 Описание метода

В докинге не делается попытки физичного описания процесса связывания, напротив, от моделирования процесса в динамике переходят к оценке энергии связывания конкретных конформаций молекулы и белка. В простейшем (и самом распространённом) случае, взаимодействие происходит по механизму «дыбы», т.е. моделируется связывание конформационно гибкого лиганда с жёстко фиксированной конформацией белка, называемой рецептором (случае поиск производится по 6ти степеням свободы лиганда: 3м вращательным и 3м поступательным).

Докинг включает 2 этапа: а) генерацию поз (разных конформаций и положений лиганда) вблизи центра связывания (задача семплинга² или обхода ФП) и б) их упорядочивание по силе связывания (задача оценки силы связывания, или скоринг³). Программы для докинга для каждой молекулы предлагают несколько поз связывания, упорядоченных по его силе, в ~80% случаев поза с самым сильным предсказанным связыванием (скором⁴) точно совпадает с положением лиганда в кристалле () [1]; первые несколько предложенных поз в ~90% содержат экспериментальное положение лиганда.

В приведённой выше формулировке для осуществления докинга необходима пространственная структура фермента и знание о положении центра связывания. Информацию о центрах связывания обычно получают из пространственных структур белок—лиганд, иначе эта информация может быть получена анализом гомологичных и аналогичных белков или с помощью программ поиска карманов и полостей на поверхности белка, например, CB-Dock [2]. Указание положения центров связывания значительно улучшает качество докинга, тем не менее, докинг можно проводить и без этого, этот вариант называется «слепой докинг⁵. Если экспериментальные структуры белка недоступны, могут использоваться in silico методы их предсказания, например, AlphaFold [3].

2 Семплинг

Задачу обхода фазового пространства белок—лиганд решают алгоритмы семплинга, которые можно разделить на 3 класса: геометрические⁶, «из фрагментов»⁷ и стохастические.

• Геометрические методы используют фармакофорное⁸ представление молекул лиганда и белка: рассчитывается матрица расстояний между фармакоформами в белке и лиганде, затем эти расстояния используется как эталонные при генерации различных конформаций лиганда. Преимуществом этого метода является крайняя простота, что позволяет его использование на самых ранних этапах докинга при проверке огромных библиотек химических соединений.

• Методы «из фрагментов» конструируют позу путём последовательного построение её из функциональных фрагментов, т.е. молекула лиганда изначально разбивается на части, например, по связям со свободным вращением, полученные фрагменты независимо сопоставляются с разными частями рецептора, затем разорванные связи соединяются образуя молекулу в новой конформации. В разных вариациях этого подхода могут генерироваться не только новые конформации, но и молекулы de novo из заданных функциональных фрагментов. Также во внимание могут приниматься специфические взаимодействия, например, водородные и гидрофобные.

• Стохастические методы строят новые конформации через модификации существующих путём трансляций, вращений в т.ч. вокруг простых связей, затем для каждой конформации рассчитывается энергия напряжения и происходит отсев слишком деформированных структур. В методе Монте-Карло валидные конформации являются затравкой для создания новой через случайные деформации. Конформации генерируются до тех пор, пока их число не достигнет какого-то заданного значения. Другой класс методов построен на генетических алгоритмах, основанных на дарвиновской теории эволюции: степени свободы молекулы представляются в виде одномерного набора чисел (аналог генома), случайные мутации в которых приведут к появлению новой конформации; на каждом шаге алгоритм генерирует ансамбль (популяцию) из нескольких мутантов и даже проводит над нами кроссинговер (обмен участками генома), затем оценивается сила связывания и напряжение (фенотип), конформации делятся на «приспособленные» к рецептору (внешней среде) и «неприспособленные», последние отбрасываются, оставшиеся используются для генерации нового поколения.

3 Скоринг

Скоринг функции решают задачу оценки «качества» сгенерированной позы. Отметим 3 класса скоринг функций.

• Основанные на силовых полях — в которых сила взаимодействия определяется суммированием попарных взаимодействий атомов ( и ) согласно аналитическому выражению потенциала

  

  куда входят эмпирические коэффициенты , , и для описания соответственно вандерваальсовых, водородных, электростатических и сольватационных взаимодействий.

• Эмпирические [4,5] — основанные на различных допущениях и численных аппроксимациях, например, для энергии связывания

  

  где , , , , и — соответственно коэффициенты регрессии для вкладов вращения простых связей, водородных и электростатических взаимодействие, ароматических и неполярных групп, свободного члена; — число связей со свободным вращением; суммирование ведётся по соответствующему типу взаимодействий; — штраф за отклонение от оптимального расстояния и угла взаимодействия, — штраф с поправкой на один аргумент.

• Статистические [6] — основанные на апостериорной вероятности различного типа межатомных взаимодействий: из базы данных кристаллических структур извлекается информация о частотах взаимодействия между атомами белка типа и атомами лиганда типа , свободная энергия рассчитывается исходя из эмпирического распределения:

  

  где — некоторая функция, зависящая от расстояния, — радиус отсечения, — эмпирическое число взаимодействий между соответствующими атомами на расстоянии ; — некоторая нормировка. К достоинствам этого метода можно отнести вычислительную простоту и то, что он позволяет учесть весьма специфические взаимодействия (например, -катионные), которые в других подходах требовалось бы учитывать явно.

2 Метадинамика

Численный эксперимент МД ограничен доступным машинным временем, в нормальном случае его не хватит для исследования всего ФП, а если энергические барьеры между состояниями достаточно высоки, за время моделирования система может даже не покинуть начальную область ФП, пример системы, в которой может наблюдаться такая картина, приведён на ⬟ 1; подобный маловероятный «прыжок» молекулы из одного минимума в другой называют редким событием [1].

2.

Atta-fynn R., Bylaska E.J., Jong W.A.D. Finite temperature free energy calculations in NWChem. Metadynamics and umbrella sampling-wham: практическое пособие. Ричленд (Вашингтон): Pacific Northwest National Laboratory.

Метадинамика — неравновесный метод молекулярного моделирования. Для эффективного получения выборки из ФП к потенциалам взаимодействия, описанным в [Описание метода], добавляют зависящий от КП³ и времени смещающий потенциал , который будет способствовать выходу системы из её энергетического минимума, что, в свою очередь, позволит исследовать новые области ФП.

Для пространства изменение потенциала во времени происходит не непрерывно; в начале симуляции , однако через равные промежутки времени к нему добавляются гауссовы функции так, чтобы положение их максимумов совпало с текущем значением коллективных переменных :

или, если исключить предыдущее значение и суммировать по шагам явно,

Накачку системы энергией называют нагреванием, поскольку в процессе температура неизбежно возрастёт на фиктивную величину ; если в начальный момент система условно находилась в нуле энергии, то в ходе нагрева ей становятся доступны состояния со свободной энергией за вполне обозримое время.

Высоту экспоненты в 1 задаёт , в классической метадинамике её принимают постоянной и равной . В большом временном пределе обращается в константу, поэтому оценка свободной энергии

т.е. зная, как смещающий потенциал меняется во времени, можно реконструировать вид поверхности потенциальной энергии [3,4].

3 RMSD

Полученные траектории атомов можно анализировать с позиции конфигурации молекул. Важным параметром конкретной конфигурации (и всех точек траектории в целом) является RMSD² относительно эталонной структуры, по сути это среднеквадратичное отклонение координат атомов от координат соответствующих атомов в эталонной конформации: где и — координаты го атома в текущей и эталонной конфигурации, — вес этой пары (обычно принимается за 1), — сумма всех весов.

1 Классические силовые поля

МД требует явного задания вида потенциалов, описывающих взаимодействия атомов, этот потенциал определяется вкладом двух составляющих: где терм отвечает взаимодействию связанных химической связью атомов, а — взаимодействию между далёкими атомами в одной молекуле или атомами в разных молекулах. Это деление обусловлено, во-первых, их видом¹, и, во-вторых, принципами, по которым оцениваются численные параметры, входящие в их выражения.

Описание атома в МД весьма формально: достаточно задать выражение потенциалов взаимодействий и значения численных параметров этих уравнений. Для группировки численных параметров СП вводят т.н. типы атомов: например, в СП GAFF (⊞ 1) для алифатического атома углерода имеется тип атома c2, а для ароматического — ca.

Нековалентные взаимодействия обуславливают вторичную и более высокие порядки структуры макромолекул. Силовые поля, призванные описывать большой спектр химически разнородных молекул, как правило, уступают более специализированным СП. Таковые имеются для белков, нуклеиновых кислот, липидов и сахаров². В противовес им ставятся СП для описания малых молекул, например, лекарственно-подобных или воды.

2 Модели воды

Молекула воды обладает высоким дипольным моментом (в следствие анизотропии, вызванной неподелёнными электронными парами, и высокой электроотрицательностью кислорода) и способна образовывать 4 водородные связи: 2 будучи донором, 2 как акцептор. Помимо этого, объёмные электронные облака атома кислорода в окружении молекул с высоким дипольным моментом подвергаются поляризации. Классические СП не могут учесть явно ни наличие неподелённых электронных пар, ни поляризацию, поэтому для представления молекул воды были разработаны специальные подходы [12].

3 Неклассические силовые поля

Поляризуемые силовые поля

На атомных масштабах представление атома в виде материальной точки может оказаться слишком простым. Тот факт, что электронная плотность динамически подстраивается под влияние окружающего поля и атомного ядра приводит к явлению анизотропии, которое невозможно описать в рамках классических силовых полей. Для учёта этого эффекта разработан ряд подходов [15], которые, однако, на практике применяются не очень часто ввиду того, что требуют бóльших вычислений, но с каждым годом использование этих методов становится всё более оправданным [16].

15.

Jing Z. et al. Polarizable force fields for biomolecular simulations: Recent advances and applications // Annual Review of Biophysics. 2019. Vol. 48, № 1. P. 371–394.

16.

Baker C.M. Polarizable force fields for molecular dynamics simulations of biomolecules // WIREs Comput Mol Sci. 2015. Vol. 5, № 2. P. 241–254.

Полная энергия электростатического взаимодействия где — сумма кулоновских потенциалов, — работа по перераспределению индуцированных зарядов, вид которой (обычно квадратичный) в разных подходах различен.

силовое поле	метод	пакет ПО
AMBER	инд. диполи	AMBER
AMOEBA	инд. диполи	AMBER, TINKER, OpenMM
CHARMM-Drude	«заряды на пружинах»	AMBER, CHARMM, NAMD, GROMACS, OpenMM
CHARMM-FQ	колебл. заряды	CHARMM
SIBRA	инд. диполи	TINKER
ABEEM	колебл. заряды	TINKER

Колеблющиеся заряды²⁰

В методе колеблющихся зарядов взаимодействие между атомами рассчитывается аналогично тому, как это реализовано в неполяризуемых СП. Отличие заключается в том, что частичные атомные заряды получают свои степени свободы в уравнении движения и могут перетекать по связям в молекулярном графе, причём это реализуется непосредственно в СП: заряду приписывается некоторая инертность (аналог массы), и заряд, участвуя во взаимодействиях, испытывает на себе влияние других зарядов и, соответственно, стремится выгодно перераспределиться в молекуле. где и — электроотрицательность () и жёсткость () соответственно. Этот подход применим только для описания поляризации, возникающей вдоль химической связи, и, например, не способен описать перераспределение электронной плотности в -облаках ароматических колец.

²⁰ англ. fluctuating charges

²¹ англ. Drude oscillators или charges on springs

«Заряды на пружинах»²¹

В модели заряда на пружинах каждый атом представляется в виде пары зарядов: один находится в центре атома и обладает массой, а второй нематериальный заряд крепится к первому с помощью относительно короткой пружины жёсткость . В ходе расчёта заряд частиц остаётся постоянным, но его распределение в пространстве меняется вследствие того, что нематериальный заряд свободно перемещается относительно центрального на величину смещения , подстраиваясь под внешнее поле (и создавая дипольный момент): В отличие от метода колеблющихся зарядов, в этом приближении делается попытка описания электронной плотности молекулы, а не просто перераспределения частичных зарядов.

Индуцируемые диполи

В методе индуцированного диполя каждому атому приписывается поляризуемость и динамически вычисляется индуцированный дипольный момент: где — напряжённость внешнего поля и В этом подходе явным образом вводится новая сущность — диполь, соответственно СП должно включать термы для описания взаимодействий диполь—диполь и диполь—заряд.

Крупнозернистые силовые поля

Поляризуемые СП стремятся пожертвовать скоростью в пользу точности, но даже классические СП зачастую слишком ресурсозатратны для моделирования надмолекулярных систем: клеточных мембран, цепей нуклеиновых кислот и полисахаридов, и даже белков. В § 1.4 отмечалось, что неполярные атомы водорода для экономии вычислительных ресурсов могут опускаться, однако в подходе крупнозернистых²² (КЗ) полей — целые группы атомов упрощаются до одного псевдоатома [7].

²² англ. coarse-grained force fields

Важной задачей является моделирования сворачивания белков, однако при текущей доступности ресурсов классическая МД ограничена размером системы и временем её моделирования, поэтому изучению этим методом поддаётся лишь малое множество объектов — небольшие быстро сворачивающиеся белки; появление КЗ СП обусловлено желанием перенести МД на масштабы и времена бóльших биологических систем.

7.

Kmiecik S. et al. Coarse-Grained Protein Models and Their Applications // Chem. Rev. American Chemical Society, 2016. Vol. 116, № 14. P. 7898–7936.

На примере белков отметим ряд общих подходов, используемых при построении крупнозернистых силовых полей:

1. Группы атомов объединяются в один псевдоатом, так полипептидная цепь на разных уровнях детализации может представлять собой: а) полноатомную цепь с опущенными неполярными атомами водорода; б) идеализированную цепь, состоящую из «бусин»²³ (нескольких атомов, слитых в один псевдоатом) — аминокислотных остовов, к которым крепятся 2 типа бусин боковых остатков (полярные и неполярные); в) цель состоящую из одинаковых бусин. Так же возможно большое число промежуточных вариантов ⬟ 1.

2. Псевдоатомы параметризуется так, чтобы походить в МД на исходную группу. Для этого применяются два подхода. В первом: данные, полученные из моделирования бековой глобулы с классическим силовым полем, используются для разработки необходимых параметров, при этом используется итеративная процедура, в которой результат моделирования КЗ ансамбля последовательно подводится под воспроизведение свойств классического; в качестве целевой метрики может использоваться радиальная функция распределения показывающая пространственное распределение числа частиц на расстоянии от выбранной точки²⁴, эта функция ёмко описывает порядок между частицами в системе. Во втором подходе не используются косвенные данные, полученные из ансамблей более точных моделей МД, вместо этого используются арсенал методов, применяемый при построении классических силовых полей: данные квантового моделирования и эксперимента.

3. Атомы в классических моделях существуют в непрерывном пространстве, КЗ модели могут вводить дискретные пространства, или решётки, т.е. атомы в них могут находиться только в конечном числе точек пространства, что значительно ускоряет время расчёта.

4. Длина связи между псеводоатомами в КЗ моделях может быть фиксированной, т.е. изменение конформации белка будет возможно только за счёт вращения вокруг связи.

5. Степени свободы валентных углов также могут ограничиваться, например, положение, которое боковая цепь занимает по отношению к основной цепи, может быть детерминированной функций от координат псевдоатомов, например, псевдоатом боковой группы может лежать на биссектрисе угла, образованного тремя атомами остова.

²³ англ. beads

²⁴ на практике может строиться гистограмма всех попарных расстояний между частицами в системе, полученное распределение и есть радиальная функция распределения

Следует подчеркнуть, что в КЗ подходах можно получать точные оценки свободной энергии, однако при оценке энтропийного вклада требуется внесение поправок для учёта меньшего числа частиц в системе.

1 Температура

Мгновенную полную энергию системы можно определить простым суммированием по кинетическим энергиям и по полным потенциалам взаимодействия двух частиц: каждое парное взаимодействие входит в выражение лишь единожды.

Температура непосредственно связана со средней (по частицам) кинетической энергией, приходящейся на одну степень свободы: видно, что температура неявным образом зависит от времени, что нарушает предпосылки NPT-ансамбля, это противоречие можно устранить введя ограничение на среднюю кинетическую скорость.

Согласно 1, разность мгновенной и фиксированной в ансамбле температур коэффициент — некий параметр, показывающий среднее отклонение мгновенных скоростей от ожидаемых в условиях NPT-ансамбля, выделив явно: этот параметр масштабирования скоростей включается на каждом шаге интегрирования:

Существуют и другие подходы поддержания постоянной температуры в системе, они воспроизводят теплообмен с внешним источником тепловой энергии — термостатом, а сами называются методами термостатирования.

Термостат Берендсена [1]

так же вводит масштабирующий коэффициент скорости для каждого шага интегрирования: интенсивность теплообмена между системой и термостатом учитывается выбором .

Термостат Нозе-Гувера [2,3]

модифицирует уравнение движения, масштабируя координаты и скорости системы через параметр где учитывает интенсивность теплового обмена; задача МД сводится к решению систем уравнений движения вида по сути является коэффициентом вязкого трения.

Термостат Ланжевена [4–6]

4.

Подрыга В.О., Поляков С.В. Молекулярно-динамическое моделирование процесса установления термодинамического равновесия нагретого никеля // Препринты Института прикладной математики им. М. В Келдыша РАН. 2014. P. 20–41.

6.

Brünger A.T. X-plor version 3.1: A system for x-ray crystallography and NMR // Нью-Хейвен (Коннектикут): Yale Univ Press. 1992. P. 39.

основан на уравнениях движения броуновской динамики — вводятся две дополнительные силы: случайная составляющая , вызывающая нагрев частиц, и диссипативная сила , рассеивающая лишнюю энергию (по сути сила трения). Аналогично уравнению Ньютона, уравнение движения: случайная составляющая распределена нормально: где вектора , — компонента , — параметр теплового обмена, — поддерживаемая температура. Для трения:

2 Давление

Для описания макропараметров реальных систем одни параметры раскладывают в степенной ряд по другим, например, по обратным степеням молярного объёма: где — функция, зависящая от температуры; такие уравнения называют вириальными. Вириальное уравнение не имеет чёткого физического смысла. Аналогичный подход используется и в МД, здесь мгновенное давление определяется вириальным соотношением что, как и в случае температуры, противоречит предпосылкам NPT-ансамбля. Эту проблему решают алгоритмы баростатирования.

Баростат Берендсена [1]

1.

Berendsen H.J.C. et al. Molecular dynamics with coupling to an external bath // The Journal of Chemical Physics. 1984. Vol. 81, № 8. P. 3684–3690.

использует принцип локального возмущения, где изменение давления во времени определяется как параметр учитывает интенсивность баростата, — поддерживаемое им давление путём изменения размера системы: объём масштабируется с помощью коэффициента изменение объёма записывается как уравнения движения принимают вид:

Баростат Нозе-Гувера [2,3]

2.

Nosé S. A unified formulation of the constant temperature molecular dynamics methods // The Journal of Chemical Physics. 1984. Vol. 81, № 1. P. 511–519.

3.

Hoover W.G. Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distributions // Physical Review A. 1985. Vol. 31, № 3. P. 1695–1697.

аналогично вводит масштабирующий множитель: изменение объёма как в 2, уравнения движения:

Баростат Ланжевена [7]

7.

Feller S.E. et al. Constant pressure molecular dynamics simulation: The Langevin piston method // The Journal of Chemical Physics. American Institute of Physics, 1995. Vol. 103, № 11. P. 4613–4621.

основан на уравнениях Ланжевена и броуновской динамике. Принципы, лежащие в основе приведены в § 1, ввиду его сложных построений, ограничимся лишь указанием.

3 Размер

Если не наложены ограничения на размеры системы, она сама заполнит предоставленный ей объём, так можно описывать молекулы в вакууме или в газе, однако в ходе такого моделирования частицы разлетятся на огромные расстояния, и нам рано или поздно не хватит размера машинных чисел даже для простого задания координат; поэтому разумным приближением будет введение некой ячейки моделирования, подойдя к границе которой частицы испытают либо упругое соударение, либо их координаты будут транслированы на противоположную сторону этой ячейки.

Периодические граничные условия [8] могут задаваться прямоугольным параллелепипедом, гексагональной призмой, усечённым октаэдром, ромбическим додекаэдром; непериодические граничные условия можно задавать сферой.

В конденсированных фазах часто присутствует ближний и дальний порядок, это означает, что для описания всей системы достаточно описания небольшой её части. Здесь применение периодичности особенно полезно. Кроме того, за счёт изменения размеров ячейки моделирования возможно поддержание постоянного давления (§ 2).

2 Ковалентные взаимодействия

3 Нековалентные взаимодействия